三角形余弦公式推导，余弦定理推论的三个公式 -凯发推荐

余弦定理是怎么推导的

欧几里得的余弦定理（也称为欧氏定理）指出，在任意一个三角形中，其三条边的平方和等于第三条边的平方乘以2：a2 b2=c2×2其中，a、b、c分别代表三角形的三条边的长度。

欧氏定理的推导过程：

（1）首先，画出一个三角形abc，其中ab为斜边，∠cab=α。

（2）把c点移动到a点，得到ab和bc两条线段，它们之间有一个角α=∠cab。

（3）从a点引出一条垂线cd，它与ab连接点a共同构成四边形abcd。

（4）因为∠acd=90°，∠abc=90°，因此四边形abcd是平行四边形。

（5）两个平行四边形的两个对角线之间的关系是：它们的乘积等于两个相邻边的乘积，即：ab×cd=ac×bd

（6）由平行四边形的两个对角线之间的关系可知：ab2=ac×bd

（7）由步骤（2）可知：ab=ac bc，因此：ab2=(ac bc)2

（8）将（7）式中的(ac bc)2展开：ab2=ac2 2ac×bc bc2

（9）由步骤（6）可知：ab2=ac×bd，因此：ac×bd=ac2 2ac×bc bc2

（10）令bd=2，则有：ac×2=ac2 2ac×bc bc2

（11）将（10）式中的2移到右边：ac×2-2ac×bc-ac2=bc2

（12）将（11）式中的ac2和2ac×bc合并：ac2 2ac×bc=bc2

（13）将（12）式中的2ac×bc移到左边：2ac×bc=bc2-ac2

（14）将（13）式中的bc2和ac2合并：2ac×bc=bc2-ac2

（15）将（14）式中的2ac×bc移到右边：bc2-ac2=2ac×bc

（16）将（15）式中的bc2和ac2合并：bc2=ac2 2ac×bc

（17）综上所述，得出欧氏定理：a2 b2=c2×2

余弦定理推导的过程是什么

过程如下

余弦定理公式

cosa=（b2 c2-a2）/2bc

cosa=邻边比斜边

余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为a，b，c，则满足性质--

a^2=b^2 c^2-2·b·c·cosa

b^2=a^2 c^2-2·a·c·cosb

c^2=a^2 b^2-2·a·b·cosc

cosc=(a^2 b^2-c^2)/(2·a·b)

cosb=(a^2 c^2-b^2)/(2·a·c)

cosa=(c^2 b^2-a^2)/(2·b·c)

(物理力学方面的平行四边形定则以及电学方面正弦电路向量分析也会用到)

之一余弦定理(任意三角形射影定理)

设△abc的三边是a、b、c，它们所对的角分别是a、b、c，则有

a=b·cosc c·cosb，b=c·cosa a·cosc，c=a·cosb b·cosa。

正余弦定理推导过程

在某三角形abc外接圆上,圆心为o.

ab边保持不变,连接ao并延长交圆于d,这样ad为圆的直径,连接db.

这样角dba为直角,因为ad为直径,

又因为在圆中,弧ab所对的圆周角：角c=角d.

所以：ab/sinc=ab/sind

很容易看出：ab/sind=ad=2r

如此得出:ab/sinc=2r.

同理可证:

ac/sinb=2r、bc/sina=2r.

所以得到正弦定理：ab/sinc=bc/sina=ac/sinb=2rr为外接圆半径.

余弦定理是如何推导出来的说明过程

余弦定理的证明可以采取向量法。具体推导如下：在△abc中，ab，bc，ca的长分别为c,a,b.恕我向量不会用手机输入，向量符号暂用＾替代，因为向量^ac=^ab ^bc，所以^ac^ac=(^ab ^bc)^(^ab ^bc)=^ab2 2^ab^bc ^bc2=^ab2 2^|ab|^|bc|cos（180°-b） ^bc2=c2-2cacosb a2=b2，即b2=a2 c2-2accosb.同理可证a2=b2 c2-2bccosa，c2=a2 b2-2abcosc。

余弦公式的推导过程

余弦定理公式推导过程

在任意△abc中

做ad⊥bc.

∠c所对的边为c，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a

则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

根据勾股定理可得：

ac2=ad2 dc2

b2=(sinbc)2 (a-cosbc)2，

b2=(sinb*c)2 a2-2accosb (cosb)2c2，

b2=(sinb2 cosb2)c2-2accosb a2，

b2=c2 a2-2accosb，

cosb=(c2 a2-b2)/2ac。

三角函数余弦公式推导过程

余弦定理公式推导过程

在任意△abc中

做ad⊥bc.

∠c所对的边为c，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a

则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

根据勾股定理可得：

ac2=ad2 dc2

b2=(sinbc)2 (a-cosbc)2，

b2=(sinb*c)2 a2-2accosb (cosb)2c2，

b2=(sinb2 cosb2)c2-2accosb a2，

b2=c2 a2-2accosb，

cosb=(c2 a2-b2)/2ac。