矩阵特征值的性质(特征值的一些结论) -凯发推荐

矩阵存在特征值的条件

是矩阵必须是方阵。在线性代数中，特征值是指矩阵的一个重要数值特征。对于一个n行n列的方阵a，如果存在一个数\lambda和一个非零向量x，使得ax=\lambdax，那么\lambda就称为a的一个特征值，x就称为a的属于特征值\lambda的特征向量。因此，只有方阵才有可能存在特征值。如果一个矩阵不是方阵，那么它就不存在特征值。需要注意的是，即使一个方阵存在特征值，也不一定所有的特征值都是实数。有些方阵可能存在复数特征值，这取决于矩阵的性质和结构。

秩和特征值的关系

特征值与秩的关系：如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立。

特征值与秩的关系

1矩阵特征值的定义

设a是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵a特征值，非零向量x称为a的对应于特征值λ的特征向量。式ax=λx也可写成(a-λe)x=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式|a-λe|=0。

设a是数域p上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，

系数行列式|a-λe|称为a的特征多项式，记|(λ)=|λe-a|，是一个p上的关于λ的n次多项式，e是单位矩阵。

伴随矩阵的特征值

伴随矩阵特征值

性质1：n阶方阵a=(aij)的所有特征根为λ1，λ2，…,λn(包括重根)

性质2：若λ是可逆阵a的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ是a的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量

正交矩阵的特征值有什么特征

1、逆也是正交阵

2、积也是正交阵

3、行列式的值为正1或负1。

任何正交矩阵的行列式是 1或?1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有 1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）

对于置换矩阵，行列式是 1还是?1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。

比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的 *** ，它们全都必须有(复数)绝对值1。

矩阵的特征值与矩阵平方的特征值

矩阵的特征值和矩阵平方的特征值之间存在一定的关系。矩阵的特征值是矩阵的一个重要属性，它表示矩阵对应于某个特征值的线性变换的性质。对于一个矩阵a，其特征值λ和对应的特征向量x满足ax=λx。对于矩阵的平方，其特征值是矩阵平方对应于某个特征值的线性变换的性质。设矩阵a的特征值为λ1,λ2,...,λn，则矩阵a的平方的特征值为λ1^2,λ2^2,...,λn^2。这是因为(a^2)x=a(ax)=a(λx)=λ(ax)=λ^2x，其中x是对应于特征值λ的特征向量。需要注意的是，矩阵的平方并不一定与原矩阵有相同的特征值。例如，对于一些特殊的矩阵，如正定矩阵和负定矩阵，它们的平方仍然保持相同的特征值范围。但是对于一般的矩阵，它们的平方可能会有不同的特征值。此外，对于一些特殊的矩阵，如正交矩阵和对称矩阵，它们的平方仍然保持相同的特征值。这是因为正交矩阵和对称矩阵具有特殊的性质，它们的平方仍然保持相同的线性变换性质。总之，矩阵的特征值和矩阵平方的特征值之间存在一定的关系，但是对于一般的矩阵，它们的平方可能会有不同的特征值。

实矩阵性质

实矩阵是一个数学概念。具体解释如下。

实矩阵指的是矩阵中所有的数都是实数的矩阵。如果一个矩阵中含有除实数以外的数，那么这个矩阵就不是实矩阵。在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数 *** ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。