三角形垂心的性质，垂心角g与角a的关系 -凯发推荐

三角形垂线的性质总结

三角形垂线是指从三角形顶点到对边所在直线上的垂线，三角形垂线具有以下性质。

1.垂线相交于一点：对于任意一个三角形，从其顶点到对边所在直线上的垂线，三条垂线必定相交于一点，称为垂心。

2.两条垂线相等：对于任意一个三角形，其垂线互相垂直，在垂足处相交，且两条垂线互相相等（长度相等）。

3.垂线中点：对于任意一个三角形，垂线上离顶点最远的点称为垂足，垂线的中点就是垂足与对边的中点。

4.垂线长度关系：对于任意一个三角形，顶点到对边垂线的长度与对边两个端点连线长度的乘积是相等的。即a×ad=b×be=c×cf，其中a、b、c分别为三角形三边的长度，ad、be、cf分别为三角形三个顶点到对边的垂线长度。

5.垂线定理：对于任意一个锐角三角形，垂线长的更大值等于直角三角形时垂线长度的更大值。即，在所有锐角三角形中，以对边为斜边的三角形中，垂线长度最长。

综上所述，三角形垂线的性质包括垂线相交于一点、两条垂线相等、垂线中点、垂线长度关系和垂线定理等，这些性质在数学的各个领域都有广泛的应用。

垂心的定义及性质

〈1〉定义:是三角形三条高的交点。

〈2〉性质:

[性质1]锐角三角形的垂心在三角形内直角三角形的垂心在直角顶点上钝角三角形的垂心在三角形外。

[性质2]三角形的垂心是它垂足三角形的内心或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

[性质3]垂心o关于三边的对称点，均在△abc的外接圆圆上。

垂心的性质

1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.

2、锐角三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

3、垂心h关于三边的对称点，均在△abc的外接圆上。

4、△abc中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且ah·hd=bh·he=ch·hf。

5、h、a、b、c四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

垂心有什么性质

垂心是三角形的三条高线的交点。

如果三角形abc是等腰三角形，ab=ac，那么过a点的高线与过a点的中线和角平分线重合。直角三角形的垂心是斜边所对的顶点。如果三角形abc是直角三角形，其中角acb是直角，那么过a点的高线是ac，过b点的高线是bc。三角形的垂心就是点c。

三角形的垂心有什么性质

答三角形的垂心就是三条边的高的交点，性质有以每条边的两端点，另外两边高的垂足点，这四点共圆，也就是以每一条边为直径，可以找出三个四点共圆的圆。

等腰三角形的垂心有何性质

三角形垂心的性质设⊿abc的三条高为ad、be、cf,其中d、e、f为垂足,垂心为h,角a、b、c的对边分别为a、b、c,p=(a b c)/2．

1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.

2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

3、垂心h关于三边的对称点,均在△abc的外接圆上.

4、△abc中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且ah·hd=bh·he=ch·hf.

5、h、a、b、c四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组).

6、△abc,△abh,△bch,△ach的外接圆是等圆.

7、在非直角三角形中,过h的直线交ab、ac所在直线分别于p、q,则ab/ap·tanb ac/aq·tanc=tana tanb tanc.

8、三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍.

9、设o,h分别为△abc的外心和垂心,则∠bao=∠hac,∠abh=∠obc,∠bco=∠hca.

10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍.

11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短.

12、西姆松(simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上.